重複排列口訣原來這麼好用！數學苦手也能輕鬆上手
每次遇到排列組合題目就頭痛嗎？其實掌握「重複排列口訣」就能讓解題變超簡單！今天就用最生活化的例子帶你搞懂這個超實用的數學工具，保證比死背公式更容易記住。
重複排列最常見的就是像密碼鎖這種可以重複使用數字的狀況。假設我們要排一個3位數密碼，每個位子都可以用0-9的數字，那總共有多少種可能？這時候就要用「n的m次方」這個口訣，n是可選擇的項目數（這裡是10個數字），m是位數（這裡是3），所以答案就是10×10×10=1000種組合。
| 情境 | 可選項目(n) | 位數(m) | 計算方式 | 總組合數 |
|---|---|---|---|---|
| 數字密碼鎖 | 10個數字 | 3位數 | 10³ | 1000 |
| 英文單字 | 26個字母 | 5字母 | 26⁵ | 11,881,376 |
| 便當配菜 | 8種主菜 | 選3樣(可重複) | 8³ | 512 |
這個方法在生活中有超多應用場景！像是早餐店點餐，如果飲料有5種選擇，主食有4種，甜點有3種，而且每樣都可以重複點，那總共有5×4×3=60種搭配方式。比起硬背公式，用這種實際例子來理解真的簡單多了。
再來看個進階的例子：如果要用紅、黃、藍三種顏色來塗4個相鄰的格子，每個格子可以選任何顏色，而且顏色可以重複使用。這時候就是標準的重複排列問題，答案就是3的4次方=81種塗法。這種題目在考試中很常見，但只要記得「n的m次方」這個口訣，馬上就能解出來。
有些同學會搞混排列(P)和組合(C)的差異，其實關鍵就在於「是否考慮順序」和「是否可以重複」。重複排列就是最寬鬆的那種，既考慮順序又允許重複使用元素。下次看到題目時，先判斷這兩個條件就能快速決定要用哪種解法啦！
今天我們來聊聊「什麼是重複排列？3分鐘搞懂基本概念」。其實重複排列在我們日常生活中超級常見，只是你可能沒注意到而已！比如說你買飲料時選擇甜度和冰塊，或是設定手機密碼時重複使用數字，這些都是重複排列的實際應用喔。
重複排列簡單來說就是「元素可以重複使用」的排列方式。跟一般排列最大的不同在於，一般排列每個元素只能用一次（像是抽獎券），但重複排列可以讓你一直用同一個元素（就像買飲料可以每次都選全糖）。這種排列方式在計算可能性時會特別方便，因為選項不會因為被選過就減少。
讓我們用個實際例子來看。假設你要設定一個3位數的密碼，而且數字可以重複使用（像111、121這種都可以），那總共有多少種組合呢？因為每位數都有0-9共10種選擇，所以計算方式就是10×10×10=1000種可能。這就是典型的重複排列計算方式！
下面這個表格幫你快速比較重複排列和一般排列的差異：
| 特徵 | 重複排列 | 一般排列 |
|---|---|---|
| 元素使用 | 可重複使用 | 每個元素只能用一次 |
| 計算公式 | n^r (n種選擇，取r個) | P(n,r)=n!/(n-r)! |
| 生活例子 | 設定可重複數字的密碼 | 抽獎券號碼不重複 |
再舉個更生活的例子：早餐店有5種飲料和3種麵包，如果你要買1杯飲料和1個麵包，這樣的重複排列組合就是5×3=15種選擇。但如果飲料和麵包都可以重複點（比如買2杯紅茶），那可能性就又更多了。這種計算方式在規劃菜單、設計優惠組合時都很好用。
誰需要學重複排列？高中數學必備技能這個問題，其實每個準備升學考試的高中生都該好好了解。重複排列可不是什麼冷門知識，它在日常生活中隨處可見，從手機密碼設定到樂透彩券選號，甚至連早餐店點餐組合都藏著排列概念。今天就用最生活化的例子，帶你搞懂這個看似抽象卻超實用的數學工具。
先講個簡單例子：假設你要用1、2、3這三個數字組成三位數密碼，數字可以重複使用時有多少種組合？這就是典型的重複排列問題。用公式算超快：每個位數有3種選擇，三位數就是3×3×3=27種。但重點是要理解背後的邏輯——每次選擇都是獨立事件，前一個選擇不會影響下一個選擇的可能性。這種思考模式在分析機率題型時特別有用，像是計算連續擲骰子出現特定點數的機率。
下面整理幾個常見的重複排列應用場景，看完你就知道為什麼老師總說這是必考題型：
| 生活情境 | 數學模型 | 計算方式 |
|---|---|---|
| 4位數手機密碼 | 數字0-9可重複 | 10×10×10×10=10000 |
| 早餐組合選擇 | 飲料5種×主食3種 | 5×3=15 |
| 樂透彩選號 | 從1-49選6個可重複數字 | 49^6 |
很多同學卡關的地方是分不清「排列」和「組合」的差別。其實關鍵就在「順序有沒有意義」——像是密碼123和321就是不同排列，但如果是抽獎號碼就不管順序了。重複排列還經常用在「有放回」的抽樣問題，比如從籤筒抽籤後又放回去，下次抽籤時選項就跟前一次完全相同。這種題目在段考經常變形出現，像是「連續三次從紅黃藍三色球中抽一顆，抽到兩次紅球的機率是多少？」這時候用重複排列搭配機率概念就能輕鬆破解。
何時會用到重複排列？生活實例大公開
大家有沒有想過，日常生活中其實處處都藏著重複排列的數學概念呢？今天就來分享幾個超實用的例子，讓你秒懂這個看似複雜的數學原理其實超貼近生活！
最經典的例子就是我們每天都要面對的「密碼設定」啦！當你要設定4位數手機密碼時，每個位數都可以重複使用0-9的數字，這就是標準的重複排列。比如說「1122」、「3344」這種組合都是允許的，總共有10×10×10×10=10,000種可能。這樣設計不僅方便記憶，安全性也足夠應付日常需求。
再來看看早餐店的飲料選擇，是不是也暗藏玄機？假設一家店提供5種糖度（無糖、微糖、半糖、少糖、全糖）和3種冰塊（去冰、少冰、正常冰），你要點一杯奶茶的話，糖度和冰塊的組合就有5×3=15種變化。這種「糖度+冰塊」的自由搭配，就是重複排列的實際應用！
| 生活情境 | 重複排列應用 | 計算方式 |
|---|---|---|
| 手機密碼 | 每位數可重複使用0-9 | 10×10×… (依位數) |
| 飲料點餐 | 糖度與冰塊自由組合 | 糖度選項×冰塊選項 |
| 車牌號碼 | 數字與字母的排列組合 | 36×36×… (依位數) |
說到車牌號碼就更明顯了！台灣的車牌結合了數字和英文字母，每個位置都可以重複使用這些字符。例如「ABC-1234」這樣的組合，就是典型的重複排列應用。交通部這樣設計不僅能創造足夠的號碼數量，也讓每台車都能擁有獨一無二的識別碼。
連我們最愛的夾娃娃機也運用了這個概念！機台廠商會設定爪子力道、移動軌跡等參數的排列組合，讓每次抓取的結果都有些微差異。這種「看似隨機其實有規律」的設計，就是重複排列在遊戲中的巧妙應用，既保持趣味性又控制成本。